¿QUÉ ES EL CALCULO?

En general el término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular o contar. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.

HISTORIA DEL CÁLCULO

Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.

La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que no se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.

Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación.

ZENON DE ELEA

Formuló un buen número de problemas (paradojas) basados en el infinito. Pará los antiguos griegos, los números como tales eran razones de números enteros, por lo que no todas las longitudes eran números. (Existían magnitudes geométricas que no podían ser medidas por números; números como entidades discretas vs magnitudes geométricas continuas.)

 Isaac Newton

(1643-1727). En 1687 fue publicada su obra magistral

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo.

Ofrece tres modos de interpretación para el nuevo análisis:

 Aquél en términos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo (1669, publicado en1711);

 Aquél en términos de fluxiones, dado en su Methodus Fluxionum et Serierum Infinitorum (1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con mayor fuerza a su imaginación;

 aquél en términos de razones primeras y últimas o límites, dado particularmente en la obra De Quadratura Curvarum que escribió al final y publicó primero (1704), visión que él parece considerar más rigurosa

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajoel nombre de ”Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable continua y ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por

dx.

El “triángulo diferencial” que había sido estudiado en varias formas –particularmente en los trabajos de Torricelli, Fermat y Barrow- es el antecedente más cercano al enfoque que ofrece Leibniz en su tratamiento de sumas y diferencias -aunque él mismo aseguró que la inspiración inicial la encontró al estudiar el tratado de Pascal

“Traité des sinus du quart de cercle”.

Sus obras dan cuenta de un método generalizado para abordar esas sumas y diferencias, además del tratamiento inverso de ambas operaciones, mediante el uso de un sistema de notación y terminología perfectamente acoplado a la materia que trata en sus bases lógicas y operativas. Leibniz siempre se dio cuenta que estaba trabajando con una nueva materia. Se especula que Newton, hasta que supo de esta postura de Leibniz consideró él mismo su método de fluxiones como una nueva materia también y un modo de expresión matemática organizado más que simplemente una útil modificación de reglas anteriores

Pierre Fermat

Sus aportaciones fueron la espiral de Fermat También conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación en coordenadas polares:

Es un caso particular de la espiral de Arquímedes

Aporto los números amigos Dos números amigos son dos números naturales a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.)

En 1636, Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescubrir una fórmula general para calcularlos, conocida porTabit ibn Qurra, alrededor del año 850.

Leonhard Euler

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra  para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega πpara hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

Euler definió la constante matemática conocida como número  como aquel número real tal que el valor de la derivada(la pendiente de la línea tangente) de la función x en el punto  es exactamente 1. Es más, es el número real tal que la función x se tiene como derivada a sí misma. La función x es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo natural o logaritmo en base.

El número  puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión.

Jakob Bernoulli

Bernoulli no escogió la figura de la espiral logarítmica (propuesta antes por su aprendiz Andres Beat E.S), así como el emblema en latín "Eadem mutata resurgo" (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo) para su epitafio. Contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en su radio), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en su diferencia). [1] La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazo se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis, «la espiral maravillosa». Impresionado por sus propiedades, pidió que grabaran en su tumba, en Basilea, la espiral logarítmica con la máxima eadem mutata resurgo, pero, en su lugar, el tallista grabó (por desconocimiento o para ahorrarse trabajo) una espiral de Arquímedes. D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (1917).

"Eadem mutata resurgo" y la espiral logarítmica son también el emblema del Colegio de Patafísica.[]

Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte será restaurado a su ser perfecto y exacto

Johann Bernoulli

En 1713 Johann se involucró en la controversia Newton-Leibniz. Apoyó firmemente a Leibniz y reforzó su argumentación demostrando el poder de sus cálculos para la resolución de ciertos problemas en los que Newton había fracasado. Aunque Bernoulli era esencialmente correcto en su apoyo a los superiores métodos de cálculo de Leibniz, también apoyó la teoría del vórtex de Descartes por encima de la teoría gravitatoria de Newton, lo cual, evidentemente, era un gran error. De hecho, sus acciones retrasaron la aceptación de la física de Newton en el continente. Bernoulli también hizo importantes contribuciones a la mecánica con su trabajo sobre la energía cinética, que constituyó otro tema de discusión entre los matemáticos durante muchos años. Su obra Hidráulica es otro signo de su naturaleza celosa. La obra está fechada en 1732, pero se trata de un error, ya que no es más que un intento de Johann por superar a su propio hijo Daniel. Daniel Bernoulli completó su más importante obra Hydrodynamica en 1734, siendo publicada en 1738, casi al mismo tiempo que Johann publicaba su Hidráulica. Este no fue un incidente aislado y, al igual que antes había competido con su hermano, ahora competía con su propio hijo. De la misma manera que un estudio de los archivos históricos ha dado la razón a Johann en su reclamación como autor del libro de cálculo de l'Hôpital, así también se ha demostrado que sus reivindicaciones por haber publicado su Hidráulica antes que su hijo escribiera Hydrodynamica son falsas. Johann Bernoulli alcanzó gran fama durante su vida. Fue elegido miembro de las academias de París, Berlín, Londres, San Petersburgo y Bolonia. Fue conocido como el 'Arquímedes de su época' y así se refleja en el epitafio de su tumba. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Glosario:

Una catenaria es una curva con forma de cadena colgante fuertemente uniforme. Su ecuación es: y = cosh(x) = 1/2 (ex + e-x) = 1 + x²/2 + x4/24 + ...

Una ecuación diferencial es una ecuación que implica el cálculo de la primera derivada o derivadas de grado superior de una función. Si la ecuación sólo incluye las primeras derivadas, es una ecuación de primer orden, y así sucesivamente. Si sólo incluye derivadas de orden n, se dice que la ecuación es de grado n. Las ecuaciones de grado uno son denominadas lineales. Las ecuaciones de una sola variable son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias para distinguirlas de las ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que incluye derivadas respecto a más de una variable. Muchas de las ecuaciones utilizadas para modelizar la física del mundo real son ecuaciones diferenciales parciales.

La isoperimetría es la comparación de las áreas de figuras con el mismo perímetro o de los volúmenes de sólidos con la misma área.

El cálculo de variaciones es una generalización del cálculo. Su objetivo es encontrar la línea, curva, superficie, etc. en el que una función dada posee un valor estacionario (normalmente, un máximo o un mínimo).

Joseph LaGrange

LaGrange es conocido por sus grandes aportes al álgebra, cálculo y teoría de números mediante teoremas, demostraciones  y polinomios que llevan su nombre. Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación de Lagrange.

Su Résolution des équations numériques, publicada en 1798, también es fruto de sus conferencias en la Escuela politécnica. En él da el método de aproximar las raíces reales de una ecuación por medio de Fracciones continuas, y enuncia varios otros teoremas. Al final en una nota muestra el Pequeño Teorema de Fermat

Donde p es un número primo y a es un número entero primo entre sí con p(m.c.d. (a, p)=1), puede aplicarse para dar la solución algebraica completa de cualquier ecuación binomial.

Explica también cómo la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de las diferencias de las raíces de la ecuación original puede usarse para dar mucha información acerca de la posición y naturaleza de esas raíces. Fue uno de los mejores no tuvo problemas para entender los ejercicios de lógica y de matemática

Jean le Rond d'Alembert

En 1747 aplicó el cálculo diferencial al análisis del problema físico de la cuerda vibrante, lo cual le condujo a la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales para la que encontró una solución. En las Investigaciones sobre la precesión de los equinoccios (1749) estableció las ecuaciones del movimiento de la Tierra en torno a su centro de gravedad y abordó el problema de los tres cuerpos (relaciones entre las fuerzas y los movimientos correspondientes del Sol, la Tierra y la Luna). El pensamiento de D'Alembert combina muchos de los elementos del empirismo y el racionalismo de los ilustrados. Consideró la filosofía como la unificadora de los diversos saberes, sistema racional de las relaciones entre principios y fenómenos, viendo en estos últimos el fundamento del conocimiento. Su racionalismo lo llevó a luchar contra toda creencia en una realidad trascendente, mítica o religiosa, que consideraba oscurantista; y su empirismo lo llevó a oponerse a cualquier principio metafísico que eludiera el contraste mediante la experiencia. Adversario, en este sentido, de la religión, la consideró como un instrumento para regular las costumbres del pueblo y propugnó un catecismo laico cuyo fin supremo fuera la utilidad social.

Augustin Louis Cauchy

Principales aportaciones a la matemática

Teorema de Cauchy.
 

Fue el creador de la teoría de funciones de variable compleja.

Desarrolló la teoría de límites y continuidad. De hecho los conceptos de función, límite y continuidad actuales se deben a él.

Gracias a él, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Dio fundamento al uso de infinitesimales.

Demostró que hay funciones continuas sin tangentes (sin derivadas).

Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos.

Definió las funciones holomorfas.

Definió los criterios de convergencia y divergencia de las series.

Con él se empieza a estudiar la aritmética modular y la teoría de residuos. 

Realizó avances en teoría de números y de errores.
 Fue significativa su contribución en el campo del cálculo diferencial e integral, en el cálculo con determinantes, la elasticidad y la Astronomía.
 

Probó que los ángulos de un poliedro convexo estaban determinados por sus lados.

Realizó la primera demostración de la fórmula de Euler. 

El nombre de Cauchy aparece ligado a la teoría de funciones complejas, a series, a ecuaciones, a la solución de ecuaciones en diferenciales parciales. 

Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, en la teoría de las funciones complejas, el teorema de existencia de Cauchy-Kovalevskaya para la solución de ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las sucesiones de Cauchy.

Riemann

La Disertación inaugural de Riemann (1854) constituye un clásico en las matemáticas. En esta obra recuperó la cuestión de las geometrías no euclidianas al demostrar por medios analíticos que el problema de la geometría basada enpostulados de Euclides (véase Geometría) estaba vinculado a la curvatura del espacio en el que uno se sitúa. Sobre una esfera, por ejemplo, el camino más corto desde un punto a otro es un arco de círculo máximo. Por consiguiente, un círculo máximo es el equivalente de una recta para una superficie así, y sabemos que dos círculos máximos cualesquiera tienen siempre dos puntos en común; por tanto, desde un punto tomado fuera de alguno de ellos no se puede trazar un círculo máximo que le sea paralelo, con lo que el postulado del paralelismo no es válido. Esto, sin embargo, no ocurre cuando el espacio no tiene curvatura y hablamos de rectas. Beltrami (1835-1900) establecería una relación entre los trabajos de Riemann, Lobachevski y Bolyai.

En el cálculo integral, se le debe a Riemann el concepto de integral definida a partir de un punto intermedio o integral de Riemann (para más información véase Integral de una función).

En teoría de números estudió los números primos, lo que le llevó a definir la que hoy se denomina "función zeta de Riemann":

 F(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s +........, s = u + iv

Riemann conjeturó que f(s) = 0 si y sólo si u = 1/2 para 0 < u < 1. Nadie ha conseguido demostrar esta hipótesis, convertida en uno de los problemas más estudiados en la teoría de números y el análisis.

Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.

Limite

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio elucídelo, es la clase de abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.